Benoît Mandelbrot
Edited by: Anonymous on 20 January 2012 at 11:08 uur
Benoît Mandelbrot is een Frans-Amerikaans wiskundige. Hij is geboren in Polen als zoon van een Litouws-Joodse familie met een uitgesproken academisch bewustzijn. Zijn moeder was arts, zijn vader klerenhandelaar. Twee van zijn ooms hebben Mandelbrot al als jongen met wiskunde geïntroduceerd. Voor de Tweede Wereldoorlog verhuisde de familie naar Parijs, waar Mandelbrot later techniek studeerde. Aansluitend daarop ging hij naar Amerika om een studie in ruimtewetenschappen te volgen. Hij studeerde als master af en ging vervolgens weer naar Frankrijk terug en promoveerde in wiskunde aan de universiteit van Parijs. Mandelbrot kreeg een baan aangeboden als wetenschappelijke medewerker op het ‘Centre national de la recherche scientifique waar hij bijna tien jaar werkte. Hij bleef in het wetenschappelijke domein, in Frankrijk en in Amerika, als medewerker en als onderzoeker op universiteiten.
Mandelbrot wordt gezien als de vader van de fractals geometrie. Een fractal is een natuurlijk of kunstmatig complex ofwel een geometrische, wiskundige figuur. Bij de traditionele geometrie is een lijn eendimensionaal, een vlakte tweedimensionaal en ruimtelijke gestalte driedimensionaal. Bij fractale figuren is het moeilijk om de dimensie te bepalen. Er is sprake van een fractale dimensie, een statistieke kwantiteit welk de indicatie geeft van hoe compleet een fractal is en hoe zeer een fractal de ruimte vult als er ingezoomd wordt. Mandelbrot werkt met een van de meest bekende fractale dimensies, de ‘Hausdorff dimensie’. Een voorbeeld van de ‘Hausdorff dimensie’ is de lengte van de kust van Engeland, die aldus de fractal theorie oneindig is. Mandelbrot beweert in zijn artikel “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension” dat de ‘Hausdorff dimensie’ van kustlijnen bepaald kan worden. Echter, om kustlijnen en andere natuurfenomenen als fractale dimensies te kunnen zien moet er rekening met de meetapparatuur gehouden worden. Fractals vinden verder nog toepassing in het gebied van digitale kunst waar ze het genre ‘fractal art’ hebben geïntroduceerd. Ook spelen fractals een rol bij computersimulaties en het creëren van rommelige structuren zoals de takstructuur van bomen of chaos.
Een belangrijke aanvulling op dit lemma is de Mandelbrotfractal, de meest bekende fractal die ook in het hoorcollege ter sprake is gekomen. De Mandelbrotfractal beschrijven zonder daar uitvoerig ingewikkelde wiskunde bij te betrekken is moeilijk, maar ik zal een poging wagen.
De Mandelbrotfractal is een wiskundig figuur, weergegeven in een tweedimensionaal complex vlak. Dat wil zeggen: elk punt van de Mandelbrotfractal is een complex getal in de vorm van x+yi, waarbij de x en y variabelen de positie van het punt op het vlak aangeven en i de imaginaire eenheid is. Van elk complexe getal wordt bepaald of deze oneindig groot wordt als deze iteratief (constant herhalend) in een formule wordt ingevuld. Afhankelijk hiervan krijgt het punt een kleur en wordt de Mandelbrotfractal gevormd.
Nu is het ook gemakkelijk te begrijpen dat de Mandelbrotfractal oneindig detail heeft. Er zijn immers oneindig veel getallen tussen bijvoorbeeld 0 en 1, net zoals er tussen twee punten op de Engelse kust ook oneindig veel afstand zit.